R1 1 Math I 1

R1 1 Math I 1

グラフが図のようになる2次関数
$y=ax^2+bx+c$
を考える。

このとき、$a,b,c$は次の式を満たす。

$$\begin{align*} a < 0 \\ b > 0 \\ c > 0 \end{align*}$$

$a$は上に凸だから$a<0$となる。

$b$は$y=ax^2+bx+c$を平方完成した後の式と頂点座標は、

$y=a(x+{b\over2a})^2+{-b^2+4ac\over4a}$

$(x,y)=({-b\over2a},{-b^2+4ac\over4a})$

となる。
だから図のグラフの軸は$x={-b\over2a}$であり、図のグラフより$x=0$、Y軸線よりも右側にあることが分かる。つまり、

$$\begin{align*} x={-b\over2a}>0 \\ {-b\over2a}>0 \\ \tag{\text{※ a < 0 だから -1/(2a) は正}} b>0 \end{align*}$$

である。

$c$は図のグラフより$x=0$の時、$y>0$と読み取れるから、

$$\begin{align*} y=a\cdot0^2+b\cdot0+c>0\\ y=c>0\\ c>0 \end{align*}$$

図のグラフより$(x,y)=(1,0)$であるから、$y=ax^2+bx+c$に代入すると、

$$\begin{align*} 0=a\cdot1^2+b\cdot1+c\\ 0=a+b+c\\ a+b+c=0 \end{align*}$$

図のグラフより$x=-1$の時、$y<0$であるから、$y=ax^2+bx+c$に代入すると、

$$\begin{align*} 0>y=a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+c\\ 0>y=a-b+c\\ y=a-b+c<0\\ a-b+c<0 \end{align*}$$

図のグラフより$x=2$の時、$y<0$であるから、$y=ax^2+bx+c$に代入すると、

$$\begin{align*} 0>y=a\cdot2^2+b\cdot2+c\\ 0>y=4a+2b+c\\ y=4a+2b+c<0\\ 4a-2b+c<0 \end{align*}$$

頂点座標$(x,y)=({-b\over2a},{-b^2+4ac\over4a})$より、頂点yは0より大きいから、

$$\begin{align*} {-b^2+4ac\over4a}>0\\ \tag{\text{※}a\lt 0}-b^2+4ac<0\\ b^2-4ac>0 \end{align*}$$

$a,b,c$が以下を満たす時、$a^2-8b-8c$が最小になる場合を考える。

$$\begin{align*} a < 0 \\ b > 0 \\ c > 0 \\ a+b+c=0 \end{align*}$$

この時、$a+b+c=0$より$b+c=-a$だから

$$\begin{align*} a^2-8b-8c&=a^2-8(b+c)\\ &=a^2-8(-a)\\ &=a^2+8a\\ &=(a+4)^2-16 \end{align*}$$

となるので、$a=-4$の時、$a^2-8b-8c$が最小になる。
$y=ax^2+bx+c$を$b$を用いて表すと

$$\begin{align*} a+b+c&=0\\ c&=-b-a\\ &=-b-(-4)\\ &=-b+4 \end{align*}$$

なので、$y=-4x^2+bx-b+4$となる。
また、$b$の値の範囲は元の式と$b$を用いて表した式を対応させると、

$$\begin{align*} y&=ax^2+bx+c\\ y&=-4x^2+bx-b+4 \end{align*}$$ $$\begin{align*} a&=-4\\ b&=b\\ c&=-b+4 \end{align*}$$

$c>0$であるから

$$\begin{align*} c=-b+4>0\\ 4>b\\ b<4 \end{align*}$$

$b \gt 0$と合わせると、$b$の範囲は$0 \lt b \lt 4$となる。